양자장론의 과거와 현재, 그리고 미래

양자장론(QFT)를 배우려고 노력했던 물리학도로서 저를 괴롭혔던 질문은 "양자장이란 무엇인가?"였습니다. 수학에서 우리는 우리가 어떤 종류의 물체를 가지고 작업하고 있는지에 대한 생각을 갖기 좋아합니다(집합인가?함수인가?위상공간인가?). QFT에서는 가장 단순한 사소한 이론에도 정확한 정의를 내리는 데 있어 분석이 어렵습니다.

 

양자장론(quantum field theory, QFT)

다행인 점은 일반 양자역학과 QFT에서 양자화 사이에는 실제로 차이가 없다는 것입니다. 파동 함수와 일부 연산자로 구성된 힐베르트 공간이 있어야 하며, 유일한 차이점은 파동 함수가 무한 차원의 필드 구성 공간에 정의된다는 것입니다(따라서 우리는 이를 "파동 함수"라고 부릅니다).

우선 일반적인 양자역학에서 양자화를 검토한 후 가장 간단한 QFT(클라인-고든 장)로 넘어가 파동함수 그림을 설명하겠습니다. 이 직관을 본 후에 글림-자페나 스트리터-와이트먼 같은 책이 만든 추상적인 프레임워크가 더 이해가 되기를 바랍니다.

 

양자전기역학

양자장 이론은 1920년대 현재 전자기장이 유일하게 알려진 고전적인 장이었기 때문에 자연스럽게 전자기 상호작용에 대한 연구에서 시작되었습니다. 1925~1926년에 Born, Heisenberg, Pascual Jordan의 연구를 통해 전자기장을 양자 고조파 진동자의 집합으로 취급하여 표준 양자화를 통해 자유 전자기장의 양자 이론(물질과의 상호작용이 없는 이론)이 개발되었습니다. 그러나 상호작용을 제외하고는 그러한 이론은 현실 세계에 대한 정량적 예측을 할 수 없었습니다.

디랙은 1927년에 발표한 논문에서 복사의 방출과 흡수에 관한 양자론에서 양자전기역학이라는 용어를 만들었는데, 이 이론은 자유 전자기장을 설명하는 용어에 전류 밀도와 전자기 벡터 퍼텐셜 사이의 추가적인 상호작용 항을 추가하는 이론입니다. 그는 1차 섭동 이론을 사용하여 자발적 방출 현상을 성공적으로 설명했습니다. 양자역학의 불확정성 원리에 따르면 양자 고조파 진동자는 정지해 있을 수 없지만, 0이 아닌 최소 에너지를 가지고 있으며, 가장 낮은 에너지 상태에서도 항상 진동하고 있어야 합니다. 따라서 완전한 진공 상태에서도 0점 에너지를 가진 진동하는 전자기장이 남아 있습니다. 원자 내 전자에 의한 복사의 자발적인 방출을 "자극"하는 것은 바로 진공 내 전자기장의 양자 요동입니다. 디랙의 이론은 원자에 의한 복사의 방출과 흡수 모두를 설명하는 데 크게 성공했으며, 2차 섭동 이론을 적용함으로써 광자의 산란, 공명 형광 및 비상대론적 콤프턴 산란을 설명할 수 있었습니다. 그럼에도 불구하고 고차 섭동 이론의 적용은 계산상의 문제적인 무한성에 시달렸습니다.

 

1928년 디랙은 상대론적 전자를 기술하는 파동 방정식인 디랙 방정식을 썼습니다. 전자의 스핀은 1/2이고, 전자의 g인자는 2이며, 수소 원자의 미세한 구조에 대한 정확한 조머펠트 공식으로 이어졌고, 상대론적 콤프턴 산란에 대한 클라인-니시나 공식을 유도하는 데 사용될 수 있었습니다. 결과는 좋은 성과를 거두었지만, 이론은 원자가 방사선 방출에 의해 항상 낮은 에너지 상태로 붕괴될 수 있기 때문에 불안정하게 만드는 음의 에너지 상태의 존재를 암시한 것으로 보입니다.

 

당시에는 세계가 매우 다른 두 가지 성분, 즉 물질 입자(전자)와 양자장(광자)으로 구성되어 있다는 견해가 지배적이었습니다. 물질 입자는 영원한 것으로 간주되었고, 물리적 상태는 주어진 공간 영역이나 속도 범위에서 각 입자를 발견할 확률로 설명되었습니다. 반면 광자는 기본적으로 양자화된 전자기장의 들뜬 상태로만 간주되어 자유롭게 생성되거나 파괴될 수 있었습니다. 1928년과 1930년 사이에 요르단, 유진 위그너, 하이젠베르크, 파울리, 엔리코 페르미가 물질 입자가 양자장의 들뜬 상태로도 볼 수 있다는 것을 발견했습니다. 광자가 양자화된 전자기장의 들뜬 상태인 것처럼, 입자의 각 유형에는 해당되는 양자장, 즉 전자장, 양성자장 등이 있습니다. 충분한 에너지가 주어지면 이제 물질 입자를 생성할 수 있을 것입니다. 이 아이디어를 바탕으로 페르미는 1932년에 페르미의 상호작용으로 알려진 베타 붕괴에 대한 설명을 제안했습니다. 원자핵에는 전자 자체가 포함되어 있지 않지만 붕괴 과정에서 들뜬 원자의 복사 붕괴에서 주변 전자기장에서 생성된 광자와 유사한 전자가 주변 전자장에서 생성됩니다.

 

디랙 등은 1929년에 디랙 방정식에 내포된 음의 에너지 상태를 전자와 질량은 같지만 전하가 반대인 입자의 존재를 가정함으로써 제거할 수 있다는 사실을 깨달았습니다. 이것은 원자의 안정성을 보장했을 뿐만 아니라 반물질의 존재에 대한 최초의 제안이기도 했습니다. 실제로 양전자의 증거는 1932년 칼 데이비드 앤더슨에 의해 우주선 속에서 발견되었습니다. 광자를 흡수하는 것과 같은 충분한 에너지로 전자-양전자 쌍이 만들어질 수 있었고, 이 과정을 쌍생성이라고 부르는 과정, 즉 역과정, 소멸도 광자의 방출과 함께 일어날 수 있었습니다. 이것은 상호작용을 하는 동안에는 입자의 수를 고정시킬 필요가 없다는 것을 보여주었습니다. 그러나 역사적으로 양전자는 처음에는 무한한 전자 바다에서 새로운 종류의 입자가 아닌 '구멍'으로 생각되었고, 이 이론은 디랙 구멍 이론으로 언급되었습니다. QFT는 자연스럽게 반입자를 그 형식주의에 포함시켰습니다.

  

무한과 재규격화

1930년 로버트 오펜하이머는 QED에서 고차 섭동 계산을 통해 전자 자체 에너지, 전자와 광자장의 진공 영점 에너지와 같은 무한한 양이 항상 발생한다는 것을 보여주었고, 이는 당시의 계산법이 운동량이 극도로 높은 광자와 관련된 상호작용을 적절하게 처리할 수 없었음을 시사합니다. 20년이 지나서야 그러한 무한성을 제거할 수 있는 체계적인 접근법이 개발되었습니다.

1934년에서 1938년 사이에 에른스트 슈투켈베르크가 상대론적으로 불변하는 QFT 공식을 확립한 일련의 논문을 발표했습니다. 1947년에 슈투켈베르크는 또한 독립적으로 완전한 재규격화 절차를 개발했습니다. 그러한 성과는 이론계에서 이해되고 인정되지 않았습니다.

 

이러한 무한성에 직면한 존 아치볼드 휠러와 하이젠버그는 각각 1937년과 1943년에 문제가 된 QFT를 소위 S-매트릭스 이론으로 대체할 것을 제안했습니다. 미시적 상호 작용의 구체적인 세부 사항은 관찰할 수 없기 때문에 이론은 상호 작용의 미시적 미니어처에 관심을 갖기보다는 상호 작용에서 소수의 관찰 가능한 것(예: 원자의 에너지) 사이의 관계를 설명하려고 시도해야 합니다. 1945년 리처드 파인먼과 휠러는 과감하게 QFT를 완전히 포기하고 입자 상호 작용의 메커니즘으로 거리에 대한 작용을 제안했습니다.

1947년, 윌리스 램과 로버트 레더퍼드는 램 시프트라고도 불리는 수소 원자의 2S1/2 및 2P1/2 에너지 준위의 미세한 차이를 측정했습니다. 에너지가 전자 질량을 초과하는 광자의 기여를 무시함으로써, 한스 베테는 램 시프트의 수치 값을 성공적으로 추정했습니다. 그 후, 노먼 마일스 크롤, 램, 제임스 브루스 프렌치, 빅터 바이스코프는 무한이 다른 무한을 상쇄하여 유한한 양을 낳는 접근법을 사용하여 이 값을 다시 확인했습니다. 그러나 이 방법은 서툴고 신뢰할 수 없어서 다른 계산에 일반화할 수 없었습니다.

 

이 돌파구는 결국 1950년경 율리안 슈윙거, 리처드 파인만, 프리먼 다이슨, 토모나가 신이치로에 의해 더 강력한 무한대 제거 방법이 개발되었을 때 나타났습니다. 주된 아이디어는 질량과 전하량의 계산된 값을 무한대일 수 있지만, 그것들의 유한한 측정값으로 대체하는 것입니다. 이 체계적인 계산 과정을 재규격화라고 하며, 섭동 이론에서 임의의 순서에 적용할 수 있습니다. 토모나가가 노벨 강연에서 말했듯이, 현장 반응에 의한 변형 질량과 전하의 부분은 무한대가 되므로 이론상으로는 계산이 불가능합니다. 그러나 실험에서 관찰된 질량과 전하는 원래의 질량과 전하가 아니라 현장 반응에 의해 변형된 질량과 전하이며 유한합니다. 한편 이론상에 나타나는 질량과 전하는 현장 반응에 의해 변형된 값입니다. 이것이 그렇기 때문에, 특히 이론상으로는 변형 질량과 전하를 계산할 수 없기 때문에 현상학적으로 실험값을 대입하는 절차를 채택할 수도 있습니다. 이 절차를 질량과 전하의 재규격화라고 하는데… 슈윙거보다 능숙하지 못한 장시간의 고된 계산 끝에 결과를 얻었습니다.

마침내 재규격화 절차를 적용하여 전자의 비정상 자기모멘트(전자 g인자의 2로부터의 편차)와 진공분극을 설명하는 계산이 이루어졌습니다. 이 결과는 실험적 측정과 수준 높게 일치하여 "무한과의 전쟁"의 끝을 알렸습니다.

 

동시에 파인만은 양자역학과 파인만 도표의 경로 적분 공식을 소개했습니다. 후자는 시각적이고 직관적으로 정리하고 섭동 전개에서 항들을 계산하는 데 도움을 주는 데 사용될 수 있습니다. 각 도표는 상호작용에 있는 입자들의 경로로 해석될 수 있으며, 각 정점과 선은 대응하는 수학적 표현을 가지며, 이러한 표현의 곱은 도표로 표현되는 상호작용의 산란 진폭을 제공합니다. QFT가 마침내 완전한 이론적 틀로 생겨난 것은 재규격화 절차와 파인만 다이어그램의 발명과 함께였습니다.

 

비정규화가능성

QED의 엄청난 성공을 감안할 때, 1949년 이후 몇 년 동안 많은 이론가들은 QFT가 광자, 전자, 양전자 사이의 상호작용뿐만 아니라 모든 미시적 현상을 곧 이해할 수 있다고 믿었습니다. 이러한 낙관론과는 달리 QFT는 거의 20년 동안 지속된 또 다른 우울기에 접어들었습니다.

첫 번째 장애물은 재규격화 절차의 제한된 적용 가능성이었습니다. QED의 섭동 계산에서는 적은 수의 물리량(즉, 전자의 질량과 전하)을 재정의함으로써 모든 무한한 양을 제거할 수 있었습니다. 1949년 다이슨은 이것이 "재규격화 가능한 이론"이라고 불리는 작은 부류의 이론에만 가능하다는 것을 증명했는데, 그 중 QED가 그 예입니다. 그러나 약한 상호작용에 대한 페르미 이론을 포함한 대부분의 이론은 "재규격화 가능하지 않다". 1차를 넘어서는 이러한 이론의 섭동 계산은 유한한 수의 물리량을 재정의함으로써 제거할 수 없는 무한성을 초래할 것입니다.

 

두 번째 주요 문제는 섭동 이론의 급수 확장을 기반으로 하는 파인만 다이어그램 방법의 제한된 유효성에서 비롯되었습니다. 급수가 수렴되고 저차 계산이 좋은 근사치가 되려면 급수가 확장되는 결합 상수가 충분히 작아야 합니다. QED의 결합 상수는 미세 구조 상수 α ≈ 1/137로, 이는 현실적인 계산에서 가장 단순하고 낮은 차수의 파인만 다이어그램만 고려해야 할 정도로 충분히 작습니다. 이에 반해 강한 상호 작용의 결합 상수는 대략 1차 정도로 복잡하며 고차의 파인만 다이어그램이 단순한 것만큼 중요합니다. 따라서 섭동 QFT 방법을 사용하여 강한 상호 작용에 대한 신뢰할 수 있는 정량적 예측을 도출할 수 있는 방법은 없었습니다.

이런 어려움이 다가오자 많은 이론가들은 QFT를 외면하기 시작했습니다. 어떤 이들은 대칭 원리와 보존 법칙에 초점을 맞췄고, 다른 이들은 휠러와 하이젠베르크의 오래된 S행렬 이론을 택했습니다. QFT는 휴리스틱적으로 원리를 안내하는 데 사용되었지만 정량적 계산의 기초는 아니었습니다.

 

원천이론

그러나 슈윙거는 다른 길을 택했습니다. 10년 이상 그와 그의 학생들은 장 이론의 거의 유일한 지수였지만, 1951년에 그는 외부 소스를 측정 필드에 결합된 전류로 사용하는 새로운 방법으로 무한대 문제를 해결할 방법을 찾았습니다. 슈윙거는 전자의 발견에 동기를 부여받아 라그랑주 승수라고 알려진 배열 공간 매개변수에 외부 힘을 결합하는 고전적인 과정을 "양자적으로" 일반화하기 위해 이 접근법을 계속 추구했습니다. 1966년 그는 소스 이론을 요약한 다음 입자, 소스, 필드라는 제목의 세 권의 볼륨 세트에서 이론의 적용을 양자 전기역학으로 확장했습니다. 새로운 관점이 가장 성공적으로 적용된 파이온 물리학의 발전은 그에게 수학적 단순성과 개념적 명확성의 큰 이점을 확신시켰습니다. 소스 이론에는 발산도 없고 재규격화도 없습니다. 필드 이론의 계산 도구라고 생각할 수도 있지만 더 일반적입니다. 소스 이론을 이용해 슈윙거는 1947년에 했던 전자의 비정상적인 자기 모멘트를 계산할 수 있었지만, 이번에는 무한한 양에 대한 '주목할 만한 발언'이 없었습니다. 슈윙거는 또한 소스 이론을 중력의 QFT 이론에 적용했고, 아인슈타인의 고전적인 결과인 중력의 적색이동, 중력에 의한 빛의 편향과 감속, 수성의 근일점 세차를 모두 재현할 수 있었습니다.

 

표준 모델

1954년에 양첸닝과 로버트 밀스는 QED의 국소 대칭을 일반화하여 더 복잡한 국소 대칭 그룹을 기반으로 하는 비 아벨리안 게이지 이론(양-밀스 이론으로도 알려져 있음)으로 이어졌습니다. QED에서는 전하를 띤 입자가 광자의 교환을 통해 상호 작용하는 반면, 비 아벨리안 게이지 이론에서는 새로운 유형의 "전하"를 운반하는 입자가 질량 없는 게이지 보손의 교환을 통해 상호 작용합니다. 광자와 달리 이러한 게이지 보손 자체는 전하를 운반합니다.

1960년 셸던 글래쇼는 전자기적 상호작용과 약한 상호작용을 통합하는 비-아벨리안 게이지 이론을 개발했습니다. 1964년 압두스 살람과 존 클라이브 워드는 다른 경로를 통해 같은 이론에 도달했습니다. 그럼에도 불구하고 이 이론은 다시 정규화할 수 없었습니다.

피터 힉스, 로버트 브라우트, 프랑수아 엥글러트, 제럴드 구랄니크, 칼 하겐, 톰 키블은 그들의 유명한 피지컬 리뷰 레터스 논문에서 양-밀스 이론의 게이지 대칭이 원래 질량이 없는 게이지 보손이 질량을 얻을 수 있는 자발적 대칭 깨짐이라는 메커니즘에 의해 깨질 수 있다고 제안했습니다.

 

초기의 글래쇼, 살람, 워드 이론을 자발적 대칭 깨짐의 아이디어와 결합하여 스티븐 와인버그는 1967년에 모든 렙톤 사이의 전기약물 상호작용과 힉스 보손의 효과를 설명하는 이론을 썼습니다. 그의 이론은 1971년 비 아벨 게이지 이론이 재규격화 가능하다는 제라드 훅의 증명으로 다시 드러나기 전까지 처음에는 거의 무시되었습니다. 와인버그와 살람의 전기약물 이론은 1970년 글래쇼, 존 일리오풀로스, 루치아노 마이아니에 의해 렙톤에서 쿼크로 확장되어 완성을 알렸습니다.

하랄드 프리츠쉬, 머리 겔만, 하인리히 뢰트와일러는 1971년에 강한 상호작용을 포함하는 특정 현상이 비아벨리안 게이지 이론으로도 설명될 수 있다는 것을 발견했습니다. 양자 색역학(QCD)이 탄생했습니다. 1973년 데이비드 그로스, 프랭크 윌체크, 휴 데이비드 폴리처는 비아벨리안 게이지 이론이 "점근적으로 자유롭다"는 것을 보여주었고, 이는 재규격화 하에서는 상호작용 에너지가 증가함에 따라 강한 상호작용의 결합 상수가 감소한다는 것을 의미합니다. (유사한 발견은 이전에 여러 번 이루어졌지만 대체로 무시되었습니다.) 따라서 적어도 고에너지 상호작용에서는 QCD의 결합 상수가 섭동 계열 확장을 보증할 만큼 충분히 작아져서 강한 상호작용에 대한 정량적 예측이 가능합니다.

 

이러한 이론적인 돌파구는 QFT의 르네상스를 가져왔습니다. 전기약력 이론과 색역학을 포함하는 전체 이론은 오늘날 기본 입자의 표준 모델이라고 불립니다. 표준 모델은 중력을 제외한 모든 기본적인 상호 작용을 성공적으로 설명하며, 이후 수십 년 동안 많은 예측이 주목할 만한 실험적 확인과 함께 충족되었습니다. 자발적 대칭 깨짐 메커니즘의 중심인 힉스 보손은 2012년 CERN에서 마침내 감지되었으며, 표준 모델의 모든 구성 요소의 존재에 대한 완전한 검증을 기록했습니다.

 

응축 물질 물리학

양자장 이론은 기본 입자 간의 상호 작용에 대한 연구에서 비롯되었지만 다른 물리 시스템, 특히 응축 물질 물리학의 다체 시스템에 성공적으로 적용되었습니다.

역사적으로, 자발적 대칭 깨짐의 힉스 메커니즘은 물질의 2차 상전이에 대한 연구에서 나온 반면, 남부 요이치로가 초전도체 이론을 기본 입자에 적용한 결과였습니다.

광자가 등장한 지 얼마 지나지 않아 아인슈타인은 결정의 진동을 양자화하는 과정을 수행하여 최초의 준입자인 포논을 탄생시켰습니다. 레프 란다우는 많은 응축 물질계에서 낮은 에너지의 여기를 준입자 집합 간의 상호작용으로 설명할 수 있다고 주장했습니다. QFT의 파인만 다이어그램 방법은 응축 물질계의 다양한 현상을 분석하는 데 자연스럽게 아주 적합했습니다.

게이지 이론은 초전도체에서 자속의 양자화, 양자 홀 효과에서의 비저항, AC 조셉슨 효과에서의 주파수와 전압 사이의 관계를 설명하는 데 사용됩니다.

 

기타발전

1970년대에는 비 아벨 게이지 이론에서 비 교란 방법의 발전이 있었습니다. 't Hooft-Polyakov 모노폴은 't Hooft and Alexander Poliakov, 플럭스 튜브는 홀거 베흐 닐슨과 폴 올레센, 그리고 Poliakov와 공동 저자들의 순간들에 의해 이론적으로 발견되었습니다. 이 물체들은 섭동 이론을 통해 접근할 수 없습니다.

초대칭도 같은 시기에 등장했습니다. 1970년에 유리 골프와 에브게니 리크트만이 4차원 초대칭 QFT를 만들었지만, 그 결과는 철의 장막 때문에 널리 관심을 끌지 못했습니다. 초대칭은 1973년 줄리어스 웨스와 브루노 주미노의 연구 이후에야 이론계에서 도약했습니다.

중력은 네 가지 기본적인 상호작용 중에서 유일하게 일관된 QFT 기술이 결여되어 있습니다. 양자 중력 이론에 대한 다양한 시도는 끈 이론의 발전으로 이어졌는데, 그 자체가 등각 대칭을 갖는 2차원 QFT의 한 유형입니다. 요 ë 셰르크와 존 슈바르츠는 1974년 끈 이론이 중력의 양자 이론이 될 수 있다고 처음 제안했습니다.